1) Nos exercícios é dado um conjunto de objetos junto com operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, liste todos os axiomas que falham.

a) O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais com operações

(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) e k(x,y) = (kx,ky)

b) O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais com operações

(a, b) + (c, d) = (a + c, h + d) e k (a, b) = (ka, b)

Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

2) Sejam V = ext{IR}^3 e S = ig(x, y, 0); x, y ext{ IR}ig, isto é, S é o conjunto dos vetores do ext{IR}^3 que têm a terceira componente nula. Verifique se S é um subespaço vetorial.

3) Verifique, se no espaço vetorial ext{IR}^3, o vetor v = (-7, -15, 22) é uma combinação linear dos vetores v_1 = (2, -3, 4) e v_2 = (5, 1, -2).

4) Os problemas abaixo se referem aos vetores v_1 = (1, -3, 2) e v_2 = (2, 4, -1) do ext{IR}^3.

a) Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v_1 e v_2.

b) Mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v_1 e v_2.

c) Determinar o valor de k para que o vetor v = (-1, k, -7) seja combinação linear de v_1 e v_2.

5) Verificar de quantas maneiras o vetor v = (5, 2) ext{IR}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores v_1 = (1,0), v_2 = (0, 1) e v_3 = (3, 1)