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INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS

Determine a integral de linha \u001c e^{y} dx + 4x e^{y} dy, onde a curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), (-1,2), (-1,-2) e (1,-2).

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Leia o trecho a seguir:

A função da derivada parcial em relação a um valor x_i é a derivada de f em relação a x_i uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.

Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y. Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:

","tags",[71,94,102,110,120,130],{"_17":72,"_73":74,"_75":76,"_77":78,"_79":80,"_81":82,"_83":82,"_84":85,"_92":93},"089e7363-1b23-44d2-a124-0aefd945c62b","name","Cálculo","alias","calculo","tag_group_id","c1ce2cf2-b217-4cc7-8182-81c56bd3522d","parent_id","b34d4581-a7e7-4d5d-be00-abe3d9a69032","created_at","2025-05-28T00:09:42.72977+00:00","updated_at","metadata",{"_86":87,"_88":89,"_90":91},"childrenCount",3,"content_count",0,"question_count",9133,"slug","calculo-4",{"_17":95,"_73":96,"_75":97,"_77":78,"_79":-5,"_81":98,"_83":98,"_84":99,"_92":97},"9772e958-72c6-4499-ad47-877cf94d670d","Exatas","exatas","2025-04-29T01:56:45.284172+00:00",{"_86":100,"_88":89,"_90":101},18,135489,{"_17":80,"_73":103,"_75":104,"_77":78,"_79":95,"_81":105,"_83":105,"_84":106,"_92":109},"Matemática","matematica","2025-04-29T02:19:12.828432+00:00",{"_86":107,"_88":89,"_90":108},8,40655,"matematica-10",{"_17":111,"_73":96,"_75":97,"_77":112,"_79":-5,"_81":113,"_83":113,"_84":114,"_92":119},"b9699cfb-08f6-4385-bd19-0ade5ddc1096","8895a046-7392-4f1e-8213-a0a997afaef1","2025-03-02T00:58:52.090133+00:00",{"_115":116,"_86":117,"_88":89,"_90":118},"description","Exatas simple description",6,30998,"exatas-1",{"_17":121,"_73":122,"_75":123,"_77":112,"_79":124,"_81":125,"_83":125,"_84":126,"_92":129},"e2313b98-0882-4029-bd31-55959d87ca0f","Cálculo Vetorial","calculo-vetorial","f4009ac7-5d4a-42e5-961f-22ecb73d69f5","2025-03-02T00:59:15.295726+00:00",{"_115":127,"_86":89,"_88":89,"_90":128},"Cálculo Vetorial simple description",94,"calculo-vetorial-1",{"_17":124,"_73":103,"_75":104,"_77":112,"_79":111,"_81":131,"_83":131,"_84":132,"_92":104},"2025-03-02T00:59:01.645436+00:00",{"_115":133,"_86":134,"_88":89,"_90":135},"Matemática simple description",25,4213,{"_14":15,"_16":15,"_17":137,"_19":138,"_43":15,"_44":154,"_69":155},"44cad7c1-b5be-4557-a62c-ead823b50ff5",[139,142,145,148,151],{"_17":140,"_23":24,"_25":141},"176234a5-c13e-464f-b913-8d2a6c07a062","Ponto de Máximo",{"_17":143,"_23":29,"_25":144},"9edc5207-b28c-48c9-b412-52c2f67dcf9f","Ponto de Mínimo",{"_17":146,"_23":33,"_25":147},"55ddc285-166f-4109-abc4-7e72d86f4aee","Máximo relativo e Mínimo relativo",{"_17":149,"_23":37,"_25":150},"720ed98f-5488-4522-bf78-94e982afc97a","Ponto de Inflexão",{"_17":152,"_23":41,"_25":153},"6eccdbec-9acd-4541-8e3f-27b6164bff0d","Nenhum dos anteriores","

1) Para as seguintes funções, encontre os valores estacionários de X, e verifique se são pontos de máximo relativo, mínimo relativo ou inflexão.

a) f(x) = -x^3 + 4x^2 + x

f'(x) = -4x + 4

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

-4x + 4 = 0

4x = 4

x = 1

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Máximo”.

b) g(x) = 2x^3 + 3x^2

g'(x) = 12x + 24

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

12x + 24 = 0

12x = -24

x = -2

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Mínimo”.

c) h(x) = x^4 + 2x^3 + x

h'(x) = 8x^2 + 12x

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

8x^2 + 12x = 0

x_1 = -3/2

x_2 = 0

Gráfico da Função: Pela análise gráfica, os pontos estacionários encontrados são de “máximo relativo”, para x = -2, e de mínimo relativo, para x = 0.

d) j(x) = 6x^3 + 2x^2

j'(x) = 18x^2

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

18x^2 = 0

x = 0

Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é um “ponto de inflexão”.

e) Plote cada uma das funções em gráficos.

",[71,94,102,110,120,130],{"_14":15,"_16":15,"_17":157,"_19":158,"_43":15,"_44":174,"_69":175},"54d96d6d-281a-43d4-abd9-d6b792ab28ac",[159,162,165,168,171],{"_17":160,"_23":24,"_25":161},"d7955816-9bde-4617-bbd4-3ddef4a8da52","Todas as afirmativas estão corretas.",{"_17":163,"_23":29,"_25":164},"34f1fb6c-a57b-405a-a8cb-bc8fabbbcc3f","Apenas as afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.",{"_17":166,"_23":33,"_25":167},"7e8a4060-213a-4eaf-9b16-74928b798973","Apenas as afirmativas 1, 3 e 4 estão corretas.",{"_17":169,"_23":37,"_25":170},"a22f55ab-c84d-4c41-8ad8-8add525298f7","Apenas as afirmativas 2, 3 e 4 estão corretas.",{"_17":172,"_23":41,"_25":173},"4329056e-1e61-47b2-95a8-8d5bcefd6760","Todas as afirmativas estão incorretas.","Determine a derivada direcional D_u f (x , y) se f (x , y) = x^3 - 3xy + 4y^2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo \\theta = \\frac{\\pi}{6}. Qual será D_u f (1,2)?

A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do produto escalar entre o vetor gradiente de f e o vetor unitário u.
O vetor gradiente de f é uma função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f.
O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x_0, y_0, z_0) é dado por todos os vetores que partem de (x_0, y_0, z_0) e são ortogonais ao gradiente \\nabla F(x_0, y_0, z_0).",[71,94,102,110,120,130],{"_14":177,"_16":15,"_17":178,"_19":179,"_43":15,"_44":194,"_69":195},"79a112eb-42ca-4a61-ba4f-2e2b6fe8ea21","6ae066f3-14bb-4c5c-9453-d4ec076911a7",[180,183,185,188,191],{"_17":181,"_23":24,"_25":182},"eafee57e-ade4-444e-b321-a378fa745fa5","(2,0, 3)",{"_17":177,"_23":29,"_25":184},"(2,\\cos 2, 3)",{"_17":186,"_23":33,"_25":187},"64055e39-f584-4857-962e-c55ea4f68f36","(2,\\cos 4, 5)",{"_17":189,"_23":37,"_25":190},"01158a48-91e6-4fb7-b1e6-0f9cfb9dba00","Nenhuma das respostas anteriores",{"_17":192,"_23":41,"_25":193},"cd6edd48-8c90-41be-8f8c-45f6d39ba02a","(2,\\sen 1, 3)","

Determine o limite da função (t , \\cos t, \\frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}) quando t tende a 2.

",[71,94,102,110,120,130],{"_14":15,"_16":15,"_17":197,"_19":198,"_43":15,"_44":211,"_69":212},"8066872d-3729-4de1-a53e-f5c14c02f80d",[199,202,205,208],{"_17":200,"_23":24,"_25":201},"2e9ba7ac-2365-41fd-ab47-d5586b4fb76f","

Only statements I and II are correct.

",{"_17":203,"_23":29,"_25":204},"faf4c977-4fa6-4246-9fc6-7f6e81ca69b5","

Only statements I, II, and III are correct.

",{"_17":206,"_23":33,"_25":207},"32772db5-cc12-483c-87c9-b33e8656a7ff","

All statements are correct.

",{"_17":209,"_23":37,"_25":210},"1bc8d2b5-d9b0-4c8c-ba1f-2b8a29b0f476","

Only statements II and IV are correct.

","

What is the definition of a function?

",[71,94,102,110,120,130],[71,94,102,110,120,130],"tagsTree",[216],{"_17":95,"_73":96,"_75":97,"_77":78,"_79":-5,"_81":98,"_83":98,"_84":99,"_92":97,"_217":218},"children",[219],{"_17":80,"_73":103,"_75":104,"_77":78,"_79":95,"_81":105,"_83":105,"_84":106,"_92":109,"_217":220},[221],{"_17":72,"_73":74,"_75":76,"_77":78,"_79":80,"_81":82,"_83":82,"_84":85,"_92":93,"_217":222},[],"actionData","errors"]

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