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Exercise 2. Resolver a EDO linear de primeira ordem:

y' + \frac{1}{x} y = 3x.
y' + y = 2xe^{-x} + x^2.
(2y - x^3)dx = xdy.
y' - y = 1 + 3\text{sen}(x).
(1 + x^2)y' + 4xy = (1 + x^2)^{-2}.
y' \text{sin}(x) + y \text{cos}(x) = 1.
y' = 1 + x + y + xy.

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Leia o trecho a seguir:

A função da derivada parcial em relação a um valor x_i é a derivada de f em relação a x_i uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.

Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y. Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:

","tags",[69,92,100],{"_15":70,"_71":72,"_73":74,"_75":76,"_77":78,"_79":80,"_81":80,"_82":83,"_90":91},"089e7363-1b23-44d2-a124-0aefd945c62b","name","Cálculo","alias","calculo","tag_group_id","c1ce2cf2-b217-4cc7-8182-81c56bd3522d","parent_id","b34d4581-a7e7-4d5d-be00-abe3d9a69032","created_at","2025-05-28T00:09:42.72977+00:00","updated_at","metadata",{"_84":85,"_86":87,"_88":89},"childrenCount",3,"content_count",0,"question_count",9133,"slug","calculo-4",{"_15":93,"_71":94,"_73":95,"_75":76,"_77":-5,"_79":96,"_81":96,"_82":97,"_90":95},"9772e958-72c6-4499-ad47-877cf94d670d","Exatas","exatas","2025-04-29T01:56:45.284172+00:00",{"_84":98,"_86":87,"_88":99},18,135489,{"_15":78,"_71":101,"_73":102,"_75":76,"_77":93,"_79":103,"_81":103,"_82":104,"_90":107},"Matemática","matematica","2025-04-29T02:19:12.828432+00:00",{"_84":105,"_86":87,"_88":106},8,40655,"matematica-10",{"_12":13,"_14":13,"_15":109,"_17":110,"_41":13,"_42":126,"_67":127},"44cad7c1-b5be-4557-a62c-ead823b50ff5",[111,114,117,120,123],{"_15":112,"_21":22,"_23":113},"176234a5-c13e-464f-b913-8d2a6c07a062","Ponto de Máximo",{"_15":115,"_21":27,"_23":116},"9edc5207-b28c-48c9-b412-52c2f67dcf9f","Ponto de Mínimo",{"_15":118,"_21":31,"_23":119},"55ddc285-166f-4109-abc4-7e72d86f4aee","Máximo relativo e Mínimo relativo",{"_15":121,"_21":35,"_23":122},"720ed98f-5488-4522-bf78-94e982afc97a","Ponto de Inflexão",{"_15":124,"_21":39,"_23":125},"6eccdbec-9acd-4541-8e3f-27b6164bff0d","Nenhum dos anteriores","

1) Para as seguintes funções, encontre os valores estacionários de X, e verifique se são pontos de máximo relativo, mínimo relativo ou inflexão.

a) f(x) = -x^3 + 4x^2 + x

f'(x) = -4x + 4

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

-4x + 4 = 0

4x = 4

x = 1

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Máximo”.

b) g(x) = 2x^3 + 3x^2

g'(x) = 12x + 24

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

12x + 24 = 0

12x = -24

x = -2

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Mínimo”.

c) h(x) = x^4 + 2x^3 + x

h'(x) = 8x^2 + 12x

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

8x^2 + 12x = 0

x_1 = -3/2

x_2 = 0

Gráfico da Função: Pela análise gráfica, os pontos estacionários encontrados são de “máximo relativo”, para x = -2, e de mínimo relativo, para x = 0.

d) j(x) = 6x^3 + 2x^2

j'(x) = 18x^2

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

18x^2 = 0

x = 0

Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é um “ponto de inflexão”.

e) Plote cada uma das funções em gráficos.

",[69,92,100],{"_12":13,"_14":13,"_15":129,"_17":130,"_41":13,"_42":146,"_67":147},"54d96d6d-281a-43d4-abd9-d6b792ab28ac",[131,134,137,140,143],{"_15":132,"_21":22,"_23":133},"d7955816-9bde-4617-bbd4-3ddef4a8da52","Todas as afirmativas estão corretas.",{"_15":135,"_21":27,"_23":136},"34f1fb6c-a57b-405a-a8cb-bc8fabbbcc3f","Apenas as afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.",{"_15":138,"_21":31,"_23":139},"7e8a4060-213a-4eaf-9b16-74928b798973","Apenas as afirmativas 1, 3 e 4 estão corretas.",{"_15":141,"_21":35,"_23":142},"a22f55ab-c84d-4c41-8ad8-8add525298f7","Apenas as afirmativas 2, 3 e 4 estão corretas.",{"_15":144,"_21":39,"_23":145},"4329056e-1e61-47b2-95a8-8d5bcefd6760","Todas as afirmativas estão incorretas.","Determine a derivada direcional D_u f (x , y) se f (x , y) = x^3 - 3xy + 4y^2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo \\theta = \\frac{\\pi}{6}. Qual será D_u f (1,2)?

A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do produto escalar entre o vetor gradiente de f e o vetor unitário u.
O vetor gradiente de f é uma função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f.
O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x_0, y_0, z_0) é dado por todos os vetores que partem de (x_0, y_0, z_0) e são ortogonais ao gradiente \\nabla F(x_0, y_0, z_0).",[69,92,100],{"_12":149,"_14":13,"_15":150,"_17":151,"_41":13,"_42":166,"_67":167},"79a112eb-42ca-4a61-ba4f-2e2b6fe8ea21","6ae066f3-14bb-4c5c-9453-d4ec076911a7",[152,155,157,160,163],{"_15":153,"_21":22,"_23":154},"eafee57e-ade4-444e-b321-a378fa745fa5","(2,0, 3)",{"_15":149,"_21":27,"_23":156},"(2,\\cos 2, 3)",{"_15":158,"_21":31,"_23":159},"64055e39-f584-4857-962e-c55ea4f68f36","(2,\\cos 4, 5)",{"_15":161,"_21":35,"_23":162},"01158a48-91e6-4fb7-b1e6-0f9cfb9dba00","Nenhuma das respostas anteriores",{"_15":164,"_21":39,"_23":165},"cd6edd48-8c90-41be-8f8c-45f6d39ba02a","(2,\\sen 1, 3)","

Determine o limite da função (t , \\cos t, \\frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}) quando t tende a 2.

",[69,92,100],{"_12":13,"_14":13,"_15":169,"_17":170,"_41":13,"_42":183,"_67":184},"8066872d-3729-4de1-a53e-f5c14c02f80d",[171,174,177,180],{"_15":172,"_21":22,"_23":173},"2e9ba7ac-2365-41fd-ab47-d5586b4fb76f","

Only statements I and II are correct.

",{"_15":175,"_21":27,"_23":176},"faf4c977-4fa6-4246-9fc6-7f6e81ca69b5","

Only statements I, II, and III are correct.

",{"_15":178,"_21":31,"_23":179},"32772db5-cc12-483c-87c9-b33e8656a7ff","

All statements are correct.

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Only statements II and IV are correct.

","

What is the definition of a function?

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