Seja A = \begin{pmatrix} d & c \\ b & a \end{pmatrix} e A^t = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} temos B = \frac{1}{2} (A + A^t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2d & c + b \\ c + b & 2a \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} d & 2c \\ b & a \end{pmatrix} Como B^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} d & 2c \\ b & a \end{pmatrix} = B então B é matriz simétrica. Seja A = \begin{pmatrix} d & c \\ b & a \end{pmatrix} e A^t = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} temos C = \frac{1}{2} (A - A^t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & c - b \\ c - b & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2c \\ 2b & 0 \end{pmatrix} Como C^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2c \\ 2b & 0 \end{pmatrix} = -C então C é matriz anti-simétrica. Se A, B e C são matrizes 2x2, B é matriz simétrica dada por B = \frac{1}{2} (A + A^t) e C é anti-simétrica dada por C = \frac{1}{2} (A - A^t) temos que B + C = \frac{1}{2} A + \frac{1}{2} A^t + \frac{1}{2} A - \frac{1}{2} A^t = \frac{1}{2} A + \frac{1}{2} A = A. Logo, podemos dizer que qualquer matriz A do tipo 2x2 é a soma uma matriz simétrica com uma anti-simétrica devidamente escolhidas.