7) Alternativa: D e E

a) Se AB = BA, então B^-1AB = B^-1BA = B^-1AB^-1 = B^-1BA

b) AA^2 + 2AB - B = 0

c) Seja A = dc ba e AA^t = db ca temos B = 2 1 (A + AA^t) = 2 1 + 2dcb cb^2a = 2 1 + dd^2 cb^2 cba. Como BB^t = 2 1 + dd^2 cb^2 cba = B então B é matriz simétrica. Seja A = dc ba e AA^t = db ca temos C = 2 1 (A - AA^t) = 2 1 0bc cb0 = 2 1 0 2 bc 2 cb0. Como CC^t = 2 1 0 2 cb 2 bc0 = -C então C é matriz anti-simétrica.

b) Se A, B e C são matrizes 2x2, B é matriz simétrica dada por B = 2 1 (A + AA^t) e C é anti-simétrica dada por C = 2 1 (A - AA^t) temos que B + C = 2 1 A + 2 1 A^t + 2 1 A - 2 1 A^t = 2 1 A + 2 1 A = A. Logo, podemos dizer que qualquer matriz A do tipo 2x2 é a soma uma matriz simétrica com uma anti-simétrica devidamente escolhidas.