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8. Equações Diferenciais: Resolva a equação diferencial y' + y = e^x.

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Leia o trecho a seguir:

A função da derivada parcial em relação a um valor x_i é a derivada de f em relação a x_i uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.

Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y. Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:

","tags",[63,86,94],{"_16":64,"_65":66,"_67":68,"_69":70,"_71":72,"_73":74,"_75":74,"_76":77,"_84":85},"089e7363-1b23-44d2-a124-0aefd945c62b","name","Cálculo","alias","calculo","tag_group_id","c1ce2cf2-b217-4cc7-8182-81c56bd3522d","parent_id","b34d4581-a7e7-4d5d-be00-abe3d9a69032","created_at","2025-05-28T00:09:42.72977+00:00","updated_at","metadata",{"_78":79,"_80":81,"_82":83},"childrenCount",3,"content_count",0,"question_count",9133,"slug","calculo-4",{"_16":87,"_65":88,"_67":89,"_69":70,"_71":-5,"_73":90,"_75":90,"_76":91,"_84":89},"9772e958-72c6-4499-ad47-877cf94d670d","Exatas","exatas","2025-04-29T01:56:45.284172+00:00",{"_78":92,"_80":81,"_82":93},18,135489,{"_16":72,"_65":95,"_67":96,"_69":70,"_71":87,"_73":97,"_75":97,"_76":98,"_84":101},"Matemática","matematica","2025-04-29T02:19:12.828432+00:00",{"_78":99,"_80":81,"_82":100},8,40655,"matematica-10",{"_12":15,"_14":15,"_16":103,"_18":104,"_33":15,"_34":120,"_61":121},"44cad7c1-b5be-4557-a62c-ead823b50ff5",[105,108,111,114,117],{"_16":106,"_21":22,"_23":107},"176234a5-c13e-464f-b913-8d2a6c07a062","Ponto de Máximo",{"_16":109,"_21":27,"_23":110},"9edc5207-b28c-48c9-b412-52c2f67dcf9f","Ponto de Mínimo",{"_16":112,"_21":31,"_23":113},"55ddc285-166f-4109-abc4-7e72d86f4aee","Máximo relativo e Mínimo relativo",{"_16":115,"_21":54,"_23":116},"720ed98f-5488-4522-bf78-94e982afc97a","Ponto de Inflexão",{"_16":118,"_21":58,"_23":119},"6eccdbec-9acd-4541-8e3f-27b6164bff0d","Nenhum dos anteriores","

1) Para as seguintes funções, encontre os valores estacionários de X, e verifique se são pontos de máximo relativo, mínimo relativo ou inflexão.

a) f(x) = -x^3 + 4x^2 + x

f'(x) = -4x + 4

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

-4x + 4 = 0

4x = 4

x = 1

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Máximo”.

b) g(x) = 2x^3 + 3x^2

g'(x) = 12x + 24

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

12x + 24 = 0

12x = -24

x = -2

Gráfico da função: Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é classificado como “Ponto de Mínimo”.

c) h(x) = x^4 + 2x^3 + x

h'(x) = 8x^2 + 12x

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

8x^2 + 12x = 0

x_1 = -3/2

x_2 = 0

Gráfico da Função: Pela análise gráfica, os pontos estacionários encontrados são de “máximo relativo”, para x = -2, e de mínimo relativo, para x = 0.

d) j(x) = 6x^3 + 2x^2

j'(x) = 18x^2

Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos estacionários da equação acima.

18x^2 = 0

x = 0

Pela análise gráfica, o ponto estacionário encontrado é um “ponto de inflexão”.

e) Plote cada uma das funções em gráficos.

",[63,86,94],{"_12":15,"_14":15,"_16":123,"_18":124,"_33":15,"_34":140,"_61":141},"54d96d6d-281a-43d4-abd9-d6b792ab28ac",[125,128,131,134,137],{"_16":126,"_21":22,"_23":127},"d7955816-9bde-4617-bbd4-3ddef4a8da52","Todas as afirmativas estão corretas.",{"_16":129,"_21":27,"_23":130},"34f1fb6c-a57b-405a-a8cb-bc8fabbbcc3f","Apenas as afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.",{"_16":132,"_21":31,"_23":133},"7e8a4060-213a-4eaf-9b16-74928b798973","Apenas as afirmativas 1, 3 e 4 estão corretas.",{"_16":135,"_21":54,"_23":136},"a22f55ab-c84d-4c41-8ad8-8add525298f7","Apenas as afirmativas 2, 3 e 4 estão corretas.",{"_16":138,"_21":58,"_23":139},"4329056e-1e61-47b2-95a8-8d5bcefd6760","Todas as afirmativas estão incorretas.","Determine a derivada direcional D_u f (x , y) se f (x , y) = x^3 - 3xy + 4y^2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo \\theta = \\frac{\\pi}{6}. Qual será D_u f (1,2)?

A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do produto escalar entre o vetor gradiente de f e o vetor unitário u.
O vetor gradiente de f é uma função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f.
O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x_0, y_0, z_0) é dado por todos os vetores que partem de (x_0, y_0, z_0) e são ortogonais ao gradiente \\nabla F(x_0, y_0, z_0).",[63,86,94],{"_12":143,"_14":15,"_16":144,"_18":145,"_33":15,"_34":160,"_61":161},"79a112eb-42ca-4a61-ba4f-2e2b6fe8ea21","6ae066f3-14bb-4c5c-9453-d4ec076911a7",[146,149,151,154,157],{"_16":147,"_21":22,"_23":148},"eafee57e-ade4-444e-b321-a378fa745fa5","(2,0, 3)",{"_16":143,"_21":27,"_23":150},"(2,\\cos 2, 3)",{"_16":152,"_21":31,"_23":153},"64055e39-f584-4857-962e-c55ea4f68f36","(2,\\cos 4, 5)",{"_16":155,"_21":54,"_23":156},"01158a48-91e6-4fb7-b1e6-0f9cfb9dba00","Nenhuma das respostas anteriores",{"_16":158,"_21":58,"_23":159},"cd6edd48-8c90-41be-8f8c-45f6d39ba02a","(2,\\sen 1, 3)","

Determine o limite da função (t , \\cos t, \\frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}) quando t tende a 2.

",[63,86,94],{"_12":15,"_14":15,"_16":163,"_18":164,"_33":15,"_34":177,"_61":178},"8066872d-3729-4de1-a53e-f5c14c02f80d",[165,168,171,174],{"_16":166,"_21":22,"_23":167},"2e9ba7ac-2365-41fd-ab47-d5586b4fb76f","

Only statements I and II are correct.

",{"_16":169,"_21":27,"_23":170},"faf4c977-4fa6-4246-9fc6-7f6e81ca69b5","

Only statements I, II, and III are correct.

",{"_16":172,"_21":31,"_23":173},"32772db5-cc12-483c-87c9-b33e8656a7ff","

All statements are correct.

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Only statements II and IV are correct.

","

What is the definition of a function?

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