1 Multipolares exteriores para potencial especificado en una esfera:

(a) Permitiendo que ϕ(R, θ, φ) sean los valores especificados del potencial electrostático en la superficie de una esfera. Demuestre que la forma general de una expansión multipolar esférica exterior implica que

ϕ(r) =

∞	extstyleigg	extsum
l=0
l	extstyleigg	extsum
m=−l
igg(rac{R}{r}igg)^{l+1}Y_{lm}(	ext{Ω})
ight)
	imes
ight>	extstyleigg	extint
ight> dΩ′ϕ(R,Ω)Y^{*}_{l'm'}(Ω′), 	ext{ r > R}

(b) Los ocho octantes de una capa esférica se mantienen a potenciales electrostáticos alternos ±V como se muestra a continuación en la vista en perspectiva (a), y mirando hacia abajo el eje z desde arriba en (b). Utilice el resultado de la parte (a) para encontrar el comportamiento asintótico (r →∞) del potencial producido por la capa esférica.