Questão de Álgebra Linear

Quando dois grupos são isomorfos, eles têm muitas propriedades em comum. Por exemplo, se um deles tiver n elementos, então o outro também tem que ter n elementos; se um for abeliano, o outro também é abeliano; se determinado tipo de equação tem solução em um deles, então uma equação equivalente também tem solução no outro. Desse modo, para mostrar que dois grupos não podem ser isomorfos, basta detectar alguma propriedade algébrica que um tenha e que o outro não tenha.

Qual das alternativas abaixo demonstra que os grupos G e J não são isomorfos?

A

3 tem 3 elementos, enquanto que 6 tem 6 elementos. Logo, não pode existir bijeção entre eles e, daí, G não é isomorfo a J.

B

S_3 é um grupo não abeliano com 6 elementos e 6 é abeliano com 6 elementos. Logo, não podem ser isomorfos.

C

Em J, a equação x + x = -1 tem solução x = - rac{1}{2} \\ ext{∈ J}. Em G, uma equação equivalente a essa seria x ullet x = -1 que não tem solução em *. Logo, G não é isomorfo a J.

D

é um conjunto enumerável, enquanto que é não enumerável. Logo, não pode existir bijeção entre eles e, daí, concluímos que os grupos G e J não são isomorfos.

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U

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