Exercício 2.1.1. Verifique se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?

(a) (M_{2 imes 2}( ext{R}), +, ullet), onde M_{2 imes 2}( ext{R}) é o conjunto das matrizes quadradas 2 imes 2 de números reais, + e ullet as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes respectivamente.

(b) ( ext{Z} imes ext{Z}, igoplus, igodot), em que as operações igoplus e igodot são definidas por (a, b) igoplus (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) igodot (c, d) = (a imes c, b imes d) com a, b, c, d \in ext{Z} e + e ullet as operações de adição e multiplicação usuais em ext{Z}.

(c) (P(X), riangle, igcap), onde P(X) é o conjunto das partes de um conjunto não vazio X e A riangle B = (A igcup B) - (A igcap B), orall A,B \\in P(X)

(d) ( ext{R}, igoplus, igodot), em que as operações igoplus e igodot são definidas por a igoplus b = a + b + 1 a igodot b = a + b + a imes b com a, b, c, d \\in ext{R} e + e ullet as operações de adição e multiplicação usuais em ext{R}.

(e) ( ext{Z}[ ext{√}−2], +, ullet), onde ext{Z}[ ext{√}−2] = igl\{a + b ext{√}−2; a, b \\in ext{Z} igr ext{} e + e ullet as operações de adição e multiplicação usuais em ext{Z}.