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Se um espaço topológico X é completamente regular, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
As funções contínuas de X são constantes.
B
Para cada ponto e conjunto fechado, existem conjuntos abertos disjuntos.
C
Todo conjunto é compacto.
D
Todo ponto de X é isolado.

Antes de viajar para a região norte do país, um viajante consultou um médico que recomendou a vacinação contra a febre amarela. Considerando as informações apresentadas e seu conhecimento sobre o tema, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.

I. O médico, a partir da vacina, espera estimular a resposta imune adaptativa do indivíduo, estimulando os linfócitos T e B.

II. Os linfócitos T e B ao serem estimulados, produzirão anticorpos contra o vírus e uma memória imunológica, que reconhecerá de forma rápida e específica o antígeno que o corpo encontrou previamente na vacina, iniciando a resposta imunológica.

A
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Se A e B são subconjuntos de um espaço topológico X, qual é a relação entre a interseção e a união dos fechamentos de A e B?

A
ar{A igcap B} = ar{A} igcap ar{B}
B
ar{A igcup B} = ar{A} igcup ar{B}
C
ar{A} igcap ar{B} = ar{A igcup B}
D
ar{A} igcup ar{B} = ar{A igcap B}

Seja X um espaço topológico e A ⊆ X. O conjunto A é chamado de fechado se seu complemento X \setminus A é aberto. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Todo conjunto fechado é denso.
B
Todo conjunto fechado é aberto.
C
O conjunto vazio não pode ser fechado.
D
O conjunto X é fechado.

Se X é um espaço topológico e A um subconjunto de X, o que significa que A é um conjunto aberto?

A

Para todo ponto x em A, existe uma vizinhança de x que está contida em A.

B

O complemento de A é compacto.

C

O fechamento de A é igual a A.

D

A é um conjunto fechado.

Há dois modelos básicos que identificam o comportamento adotado em um processo de tomada de decisão: o racional e o intuitivo. Indique a opção que identifica corretamente os dois modelos.

A

O comportamento racional é o que segue um processo não totalmente consciente e se baseia na sensibilidade e percepção; já o comportamento intuitivo é o que segue uma ordem lógica e se baseia totalmente em informações.

B

O comportamento racional é o que segue uma ordem lógica e se baseia totalmente em informações; já o comportamento intuitivo é o que segue um processo não totalmente consciente e se baseia na sensibilidade e percepção.

C

O comportamento racional aplica-se a ambientes complexos e dinâmicos, onde as informações são limitadas; já o comportamento intuitivo se aplica a ambientes simples e estáveis, onde há grande disponibilidade de informações.

D

O comportamento racional é o que segue uma ordem lógica e se baseia na sensibilidade e percepção; já o comportamento intuitivo se aplica a ambientes complexos e dinâmicos, onde há grande disponibilidade de informações.

E

O comportamento racional aplica-se a ambientes simples e estáveis, onde as informações são limitadas; já o comportamento intuitivo é o que segue uma ordem lógica e se baseia totalmente em informações.

O que é um espaço topológico normal?

A

Um espaço onde cada par de conjuntos fechados disjuntos pode ser separado por vizinhanças abertas.

B

Um espaço onde cada par de pontos pode ser separado por vizinhanças abertas.

C

Um espaço que é compacto e conexo.

D

Um espaço que é Hausdorff e conexo.

As equações diferenciais ordinárias são usadas na modelagem e resolução de problemas reais, frequentemente submetidos a simplificações. Para resolver essas equações, é fundamental classificá-las, identificando a estratégia de solução mais adequada.

Diante desse tema, considere a equação diferencial ordinária y'' - 2y' + y = 0.

Assinale a alternativa que indica a solução para a equação apresentada:

A
y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x
B
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}
C
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
D
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}
E
y(x) = C_1 e^x + C_2 x

O que é um espaço topológico X ser chamado de espaço de Lindelöf?

A

Cada coleção de conjuntos fechados tem um ponto de acumulação.

B

Cada cobertura aberta de X possui uma subcobertura contável.

C

Todo conjunto aberto é denso.

D

Todo conjunto fechado é compacto.

Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a interseção de conjuntos fechados?

A
A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto aberto.
B
A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado.
C
A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto denso.
D
A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto compacto.