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15. Marque a alternativa cujo provérbio está com a concordância inadequada.

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Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B=P^{-1}AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então:

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Sejam A_{m \times n} e B_{p \times m} duas matrizes reais quaisquer. Prove que:
(a) O espaço nulo de A está contido no espaço nulo de BA.
(b) O espaço nulo de A coincide com o de A^T A. Sugestão: dado y \in \mathbb{R}^n, se y^T y = 0, então y = 0.
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Se F é o espaço das matrizes 2 \times 2 de coeficientes reais e u pertence a F, assinale a afirmação correta sobre as leis de F em F.
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Considere os seguintes subespaços do R4 S1 = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + b + c = 0} e S2 = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a − 2b = 0 e c = 3d}.

a) Determinar ext{dim} S_{1} e uma base de S1.

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Considere o conjunto formado pelos vetores v_1=(1,-3,4), v_2=(3,2,1) e v_3=(1,-1,2). Com base neste conjunto, analise as afirmativas:

I. Os vetores v_1, v_2 e v_3 são linearmente independentes.

II. Os vetores v_1, v_2 e v_3 são linearmente dependentes.

III. O conjunto \{v_1,v_2,v_3\} forma uma base para o \mathbb{R}^3.

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Em cada caso, verifique se H é subgrupo de G.
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Considerando em \mathbb{R}^2 as operações de soma de vetores definida por + a multiplicação por escalar segundo Correto a regro a(x,y) = (ax, ay), Qual dentre as afirmações abaixo, é a única que está correta?


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6 — No espaço de todos os polinômios, seja
〈f, g〉 = ∫∞0 exf(x)g(x)dx.
a) Prove que 〈x, y〉 é um produto interno
b) Calcule 〈x, y〉 onde f(x) = (t+1)2 e g(x) = t2 − 2
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Questão 05. Sejam \alpha = \{(0, 2), (2,−1)\} e \beta = \{(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)\} bases de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3 respectivamente. Considere a matriz

[T ]\alpha\beta =

\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}

Dê a expressão para T(x, y)

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