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Qual é o valor de \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx?

15. Dada a matriz A = 1 0 1. Ache a soma dos elementos de B = A + A² + A³ + ... + Aⁿ, para n natural maior que 1.

11. (Uepg 2017) Sendo M uma matriz quadrada inversível, de ordem 3, assinale o que for correto.
01) Se ext{det}(M) eq 5 e ext{det}(2 M imes M) = x + 1, então x = 7.
02) Se ext{det}(M) = 4 e se k é um número real tal que ext{det}(k M) = 108, então k = 9.
04) Se ext{det}(M) = 24 e ext{det}(M) = 2 imes t, então t = 3.
08) Se ext{det}(M) = 2x + 6 e ext{det}(M) = x + 10, então ext{det}(M imes M) = 16.
16) Se ext{det}(M) = x^2 + 1 e ext{det}(M) = -8 - x, então o produto dos possíveis valores de x é -17.

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9) Para matrizes quadradas A = (a_{ij}) definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, tr(A) = \sum_{i=1}^{m} a_{ii}.

a) Mostre que tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

b) Mostre que tr(\alpha A) = \alpha tr(A).

c) Mostre que tr(A^t) = tr(A).

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Exerćıcio 18. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.

3x + 4y + az = 1
ax + y + 3z = b
2x + 3y - 2z = 1

Determine todos os valores de a e b para os quais o sistema:

(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Aqui dê o conjunto solução do sistema linear.

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(Epcar (Afa)) Seja a matriz [ 0 \, 2 \, \frac{1}{2} \, 0 ]. Sabe-se que A_n = A \cdot A \cdot A \ldots \cdot A \; (n \text{ vezes}). Então, o determinante da matriz S = A + A^2 + A^3 + \ldots + A^{11} é igual a:

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Un padre inculca el sentido del ahorro diario a sus 2 hijos y les regala una alcancía vacía. El primer día, el segundo día y el tercer día los dos hermanos depositaron en total 4 soles, 6 soles y 10 soles, respectivamente. Si la cantidad de soles depositada diariamente por los hermanos en la alcancía está representada por un polinomio cuadrático p(t) donde “t” es el número de días que transcurren desde que inician el ahorro, determine cuánto dinero hay en la alcancía hasta el quinto día, después que hicieron su depósito diario.

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Seja a T: R³→R³ com operador Linear T(x,y,z) = x(2,0,0)+ y(0,0,3)+ z(1,2,0). Qual é a matriz transformação linear associada a ‘T’? E o polinômio característico associado a T? Assinale a alternativa que responde, respectivamente, a cada pergunta anterior.

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Considere as funções f(x) = 1 - x e g(x) = \frac{1}{x} e todas as possíveis composições dessas duas funções, por exemplo, f(f), f(g), g(f), g(g), ... Seja n o número total de funções distintas obtidas desta forma, podemos afirmar que:

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A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb^-1 = d, onde x é um elemento de G.

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