Questões

Um dos aspectos mais relevantes no estudo de espaços vetoriais é identificar se um vetor w é uma combinação linear w=a imes u + b imes v + ext{...}, ext{ onde } a,b, ext{...} \\in ext{ } ext{I} ext{R} de outros vetores (u,v, ext{...}) do mesmo espaço. Sejam os vetores u=(1,1,0) e v=(2,1,1). Marque a opção onde o vetor w que é uma combinação linear de u e v.

A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:

1 1
1 1

Considere a base β = {A_1, A_2, A_3, A_4} de M_{2 \times 2}, onde

A_1 =
[
1 & 0
0 & 1
]
; A_2 =
[
-1 & 2
0 & 0
]
; A_3 =
[
0 & 1
0 & 1
]
e A_4 =
[
0 & 0
1 & 0
]
Calcule [A]_{\beta}, onde A = [I]_{\gamma}, \alpha = \{(1, 1); (0, 1)\} e \gamma = \{(-1, 2); (2, 1)\}.

a) Encontrar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta

b) Calcular [A]_{\beta}

Questão 4. Considere a transformação linear T : \mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3 sabendo que:

T (1, 1) = (1,−2, 0) e T (3, 4) = (0, 1, 2).

a) Determine a lei de formação da transformação linear T(x,y)

b) Determine uma base e a dimensão da imagem de T?

c) Use o Teorema da dimensão para determinar se T é injetiva.

2.6.22) Seja f : M \to M' um morfismo. Considere a relação k : \text{Ker}(f) \to M' definida por
k(x) := f(x).

a) Mostre que k é um morfismo entre grupos abelianos.

b) Se f é um morfismo injectivo, então k é um morfismo injectivo.

Sabemos que o produto vetorial é aqule em que tomados dois vetores do R^3, iremos obter um outro vetor também do R^3. Importante afirmar que essa operção é exclusiva do espaço R^3. Sendo dessa operação dada, e lembrando que a obtenção do vetor resultante é dado por:

80. Determine a solução geral da equação diferencial y'' - 2y' + y = x e^x.

Exercício 2.5.7. Determine polinômios q(x) e r(x) tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x), e r(x) = 0 ou grau r(x) < grau g(x) para os seguintes casos:

1. f(x) = x^4 - 7x + 1, g(x) = 2x^2 + 1 ∈ ext{Q}[x]
2. f(x) = 4x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 4x + 5, g(x) = 3x^2 + 2 ∈ ext{Z}_7[x]
3. f(x) = 3x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 4x^3 + x^2 - x + 4, g(x) = 2x^3 + 4x^2 - x + 3 ∈ ext{Z}_5[x]
4. f(x) = 2x^2 - 4x + 3, g(x) = 7x - 5 ∈ ext{Z}_8[x]