Questões

1ª Questão. (a) Falsa. Considere A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. Então, A = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}. (b) Falsa. Considere A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}. Então, A = \begin{bmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}. (c) Verdadeira, pois InIn = In. (d) Verdadeira. Se A é simétrica e inversível, IAA^t = -1. Daí, (A^t)^t = A. Ou seja, A^t = A. Logo, A é simétrica. (e) Verdadeira. Se AB é inversível, existe uma matriz X tal que (AB)X = X(AB) = I. Então, A(BX) = I e (XA)B = I. Logo, A e B são inversíveis. (f) Verdadeira. Suponha A inversível e que BA = CA. Sendo A inversível, existe X tal que AX = XA = I. Daí, B = BI = B(AX) = (BA)X = (CA)X = C(AX) = CI = C. (g) Falsa. Sejam A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}. Temos que AB = 0 e B \neq 0. (h) Falsa. Uma condição necessária para que um subconjunto de um espaço vetorial seja seu subespaço é que o elemento neutro do espaço pertença a ele. Note que (0,0,0) não pertence à S. Lembre que esta não é uma condição suficiente! (i) Falsa, pois \ln(2) \neq 1. (j) Falsa, pois (1 - 1) \neq 1.

Verifique se os grupos G e J são isomorfos em cada um dos seguintes casos:

• G = (\mathbb{Z}_3,+), J = (\mathbb{Z}_6,+)
• G = (S₃, ◦), J = (\mathbb{Z}_6,+)
• G = (\mathbb{Z}^{*}, ·), J = (\mathbb{Z},+)
• G = (\mathbb{Z},+), J = (\mathbb{Z},+)

8. Unicamp 2016 Considere a matriz quadrada de ordem 3, A = \begin{pmatrix} 2 \cos x & 0 & -\sen x \\ 0 & 1 & 0 \\ \sen x & 0 & \cos x \end{pmatrix} 5, onde x é um número real. Podemos afirmar que:

Considere a forma bilinear B, dada por: B:R²×R²→R, com B((x₁,y₁),(x₂,y₂))=-x_{1}x_{2}+2y_{1}x_{2}+5y_{1}y_{2}: R²→R, B((y₁,y₁),(y₂,y₂))=-y_{1}y_{2}+2y_{1}y_{2}+5y_{1}y_{2}

Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema qual os termos independentes são todos nulos ( iguais a zero ). Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Essa solução é chamada de solução trivial de um sistema homogêneo. De acordo com todas as informações apresentadas anteriormente, determine o valor de k no sistema abaixo de forma que ele tenha solução distinta da solução trivial ( x = 0, y = 0 e z= 0).

Qual é o conceito apresentado pela Parábola da Caverna, de Platão?

I - A verdade só pode ser alcançada pela razão, pelo mundo das ideias, não por nossos sentidos, opiniões e por experiências de sombras.

II - A verdade só pode ser alcançada por meio da experiência sensorial, das opiniões e das sombras.

III - A verdade só pode ser alcançada por meio da fé, da crença em algo superior.

IV - A verdade é relativa e depende do ponto de vista de cada indivíduo.