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(ITA-92) Seja C={X ∈ M_{2 \times 2}: X^2 + 2X = 0}. Dadas as afirmações:

I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível.
II. Se X ∈ C e \text{det}(X + 2I) \neq 0 então X é não inversível.
III. Se X ∈ C e \text{det}(X) \neq 0 então \text{det}(X) > 0.

Podemos dizer que:

Seja A ∈ M_n( ext{R}) uma matriz real e seja T : ext{C}^n ightarrow ext{C}^n o operador linear no espaço vetorial complexo ext{C}^n cuja matriz em relação à base canônica é A. Denote por p_T o polinômio caracteŕıstico de T. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se v_1, ext{...}, v_k ext{ } ext{∈} ext{R}^n são tais que ext{ extbraceleft}v_1, ext{...}, v_k ext{ extbraceright} é linearmente independente sobre ext{R}, então ext{ extbraceleft}v_1, ext{...}, v_k ext{ extbraceright} também é linearmente independente sobre ext{C}.
(II) Se eta ext{ } ext{∈} ext{C} é um autovalor de T e eta ext{ } ext{∉} ext{R}, então existe v ext{ } ext{∈} ext{R}^n não nulo tal que T(v) = eta v.
(III) Dado eta ext{ } ext{∈} ext{C}, então eta é raiz de p_T se, e somente se, seu complexo conjugado ar{eta} for raiz de p_T.

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Uma reta r pode ser construída com base na referência de um vetor. Dado os pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que passa por esses 3 pontos?

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Considere o seguinte subespaço vetorial de R⁵: S = {(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) ∈ R⁵ : x_1 + x_2 = x_5, 2x_3 + x_4 = x_5, 3x_1 + 3x_2 = 4x_3 + 2x_4 + x_5}. A dimensão de S é igual a:

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Uma gleba destinada a reflorestamento tem a forma de um triângulo retângulo ABC, conforme mostra a figura. Se a área dessa gleba é 0,96 ext{ km}^2, então a medida do lado AC, indicada por x na figura, é igual a

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(FGV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A) = 7. Nessas condições, det(3A) e det(A^{-1}) valem, respectivamente:

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Mostre que um espaço normado completo é também um espaço de Banach.

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Sejam y =
[−1 −1
0 −1
]
∈ (GL2(, ·) e G = [y] = grupo cı́clico gerado por y. Qual dos seguintes grupos J é isomorfo a G?

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65. (EsSA – 2006) A soma dos inversos das raízes da equação do 2º grau y' − 2(y + 1)y + (y + 3) = 0 é igual a 4. Se nesta equação y é constante, podemos afirmar que y' é igual a:

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Determine os valores de k ∈ R para que o sistema abaixo

\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}

(a) tenha uma única solução; (b) não tenha solução; (c) tenha mais de uma solução.

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