Questões

Resolver o seguinte sistema linear:

x + 2y = 1

x + 3y = 2

equivale a

Complete as lacunas:

(a) existem x, y \, \in \, \mathbb{R} tal que x( , ) + y( , ) = ( , )

(b) ( , ) \in \text{span}\{( , ), ( , )\}

¿Cuál es el tema principal del documento presentado?

O que é um grupo abeliano?

1ª Questão. (a) Falsa. Considere A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. Então, A = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}. (b) Falsa. Considere A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}. Então, A = \begin{bmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}. (c) Verdadeira, pois InIn = In. (d) Verdadeira. Se A é simétrica e inversível, IAA^t = -1. Daí, (A^t)^t = A. Ou seja, A^t = A. Logo, A é simétrica. (e) Verdadeira. Se AB é inversível, existe uma matriz X tal que (AB)X = X(AB) = I. Então, A(BX) = I e (XA)B = I. Logo, A e B são inversíveis. (f) Verdadeira. Suponha A inversível e que BA = CA. Sendo A inversível, existe X tal que AX = XA = I. Daí, B = BI = B(AX) = (BA)X = (CA)X = C(AX) = CI = C. (g) Falsa. Sejam A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}. Temos que AB = 0 e B \neq 0. (h) Falsa. Uma condição necessária para que um subconjunto de um espaço vetorial seja seu subespaço é que o elemento neutro do espaço pertença a ele. Note que (0,0,0) não pertence à S. Lembre que esta não é uma condição suficiente! (i) Falsa, pois \ln(2) \neq 1. (j) Falsa, pois (1 - 1) \neq 1.

Verifique se os grupos G e J são isomorfos em cada um dos seguintes casos:

• G = (\mathbb{Z}_3,+), J = (\mathbb{Z}_6,+)
• G = (S₃, ◦), J = (\mathbb{Z}_6,+)
• G = (\mathbb{Z}^{*}, ·), J = (\mathbb{Z},+)
• G = (\mathbb{Z},+), J = (\mathbb{Z},+)

8. Unicamp 2016 Considere a matriz quadrada de ordem 3, A = \begin{pmatrix} 2 \cos x & 0 & -\sen x \\ 0 & 1 & 0 \\ \sen x & 0 & \cos x \end{pmatrix} 5, onde x é um número real. Podemos afirmar que:

Das alternativas abaixo, identifique qual é a propriedade, isto é, se é fechamento, comutativa ou elemento neutro.