Questões

Sobre a multiplicação de matrizes, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.

I. Considere que a matriz A seja B e C. Observa-se que essas duas matrizes comutam.

Porque:

II. A matriz B é inversa de A.

A seguir, assinale a alternativa correta.

Sobre o método de eliminação de Gauss, é correto:

Questão 5. Sejam \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} vetores em um espaço vetorial V e seja T : V \rightarrow W uma transformação linear.

a) \{T (v_1), T (v_2), \ldots, T (v_n)\} é linearmente independente em W , prove que \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} é linearmente independente em V

b) Prove que a rećıproca do ı́tem (a) é falsa. Isto é se \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} é linearmente independente em V não necessariamente \{T (v_1), T (v_2), \ldots, T (v_n)\} é linearmente independente em W . Ilustre essa afirmação com um exemplo de uma transformação T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2.

c) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.

3) Um dos produtos notáveis mais importantes trata do quadrado da soma de dois números: “Para quaisquer números reais a e b, vale que (a + b)² = a² + 2ab + b².”

a) Calcule o resultado de (3+2)² utilizando o quadrado da soma de dois números.

b) Suponha que k é um número real. Utilize o quadrado da soma de dois números para completar a igualdade: (k + 1)² = ________.

c) Suponha que k é um número real. Utilize o quadrado da soma de dois números para completar a igualdade: (2k + 3)² = _________.

d) Suponha que a, b, e c são números reais. Utilize o quadrado da soma de dois números para completar as igualdades: ((a+b)+c)² = (a + b)² +_______ =____________ = . . . Neste item, desenvolva a expressão um passo por vez até que não seja mais necessário usar parênteses. Use mais que dois passos se for necessário.

Certo país adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou $5,00, $10,00 e $20,00, respectivamente. Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:

Quaisquer que sejam os números a, b, c, o determinante da matriz é dada por:

Legenda:

• → Conjunto dos números naturais
• → Conjunto dos números reais
• an heta → Tangente do ângulo heta
• → Conjunto dos números inteiros
• ext{sin} heta → Seno do ângulo heta
• ext{cotan} heta → Cotangente do ângulo heta
• → Conjunto dos números racionais
• ext{cos} heta → Coseno do ângulo heta
• ext{ln} → Logaritmo neperiano

Exercício 2.5.12. Prove os seguintes polinômios são irredutíveis.

(a) x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 é irredutível em ext{Z}_2[x]

(b) x^4 - 7x^3 + 5x^2 - 3x - 9 é irredutível em ext{Q}[x]

(c) x^8 + 6x^5 - 12x^3 + 18x^2 - 24x - 60 é irredutível em ext{Q}[x]